上次在合肥经开区听一节初一的代数式入门课，整节课的设计热闹得很。
PPT上翻来覆去是红苹果、黄梨子、卡通铅笔、橡皮，老师带着学生数了20分钟的实物数量，最后转身在黑板上写下a和b，问学生：”现在谁能告诉我，a代表什么？”
底下鸦雀无声。
有个男生憋了半天举手：”a代表红苹果？”
老师皱着眉：”不对。a可以代表任何东西。”
全班更懵了。
把”剥掉具体壳”当抽象，是最偷懒的教法
这不是学生反应慢。是我们对数学抽象的理解，从根上就歪了。
很多老师教抽象，就像剥洋葱。先把一层又一层的具体例子摆出来，然后当着学生的面把所有的”具体的皮”全部剥掉——苹果没了，梨子没了，小组人数没了，买东西的价格没了，最后剩个光溜溜的符号a或者b，就觉得这就是抽象的全部了。
说实话，这种教法省事儿。不用设计什么认知冲突，不用等着学生自己反应，只要按流程走：举例子，剥例子，留符号，背规则，一套动作下来整节课顺得很。可学生拿到那个符号的时候，根本不知道它从哪来，要到哪去。只知道这是老师要求他记住的，一个和自己的生活没关系的、干巴巴的东西。
我见过最夸张的一节课，老师花了半节课讲”用字母表示数”，最后抽学生回答，问”如果n是自然数，那2n代表什么”，全班齐刷刷喊”偶数”——这个答案当然是对的，可下课的时候我随便拉了个学生问，你刚才说的2n，和你平时买东西算的账有啥关系？他摇摇头，说不知道，老师说只要背下来考试能填对就行。
你看，这哪里是抽象。这是套壳。我们把抽象的结果直接拿给学生，让他把这个结果和对应的考点背下来，就当他完成了抽象的过程。
抽象从来不是”去掉什么”，是”抓住什么”
有次在肥西的一所乡镇初中听随堂课，老师讲同一个知识点，完全没拿那些花里胡哨的卡通素材。
一上课就写了三行算式：
2个小组，每组4人，总人数8
3个小组，每组4人，总人数12
5个小组，每组4人，总人数20
写完就问，这里面什么东西是从来没变的？
底下的学生七嘴八舌，有人说每组的人数没变，有人说总人数永远是小组数的4倍。老师顺着话头问，那如果现在有100个这样的小组，总人数是多少？学生说400。那1000个呢？4000。
这时候有个后排的学生突然喊：”那我们每次都要算4乘小组数，是不是太麻烦了？”
老师等的就是这句话。他笑着转身在黑板上写下4n，说”对，我们把一直变的那个小组数换成n，不管它是2还是1000，我们都能一眼看出来总人数怎么算”。
整节课没一个卡通图，没一句”把具体的东西去掉”的说教。可学生看到那个4n的时候，眼睛是亮的。因为这个符号是他们自己找出来的，是为了帮自己省事儿才创造出来的。
真正的数学抽象，从来不是”把具体的东西剥掉”，而是从一堆看起来完全不一样的具体场景里，拎出那个藏在底下不变的关系。
之前那个上苹果梨子课的老师，最大的问题就是，他只让学生看到了”苹果是具体的，a是抽象的”，却没让学生看到，为什么我们非要把苹果换成a？换成a之后，我们能比数苹果多解决什么问题？没有这个需求，所谓的抽象，就只是老师强加给学生的一个无意义的符号而已。
别把抽象的”度”，卡在老师的审美里
不过话说回来，也不是说所有的具体经验都要被彻底扔掉。
很多老师有个奇怪的审美执念：只要学生看到a，第一反应是”这是我上次买笔花的钱”，就觉得学生的抽象水平不够，必须要把他的这个具象联想掐掉，让他说”a是代表任意实数的量”，才算达到了数学的”纯粹性”。
我上次碰到个小姑娘，刚学完有理数，被老师点起来回答”a和-a哪个大”。她站在那里想了半天，说”a是我上次数学考试的分数，是85，那-a就是-85，当然a大啊”。台下的同学都笑，老师也急，说我跟你说了多少遍，a是可以代表任何数的！
可这哪里是学生的错？
抽象是有层次的。从”a代表我买笔的钱”，到”a代表一个固定的未知量”，再到”a代表任意的数”，这个过程是要走好几年的。你不能要求刚摸到符号门口的学生，一步跨到最高的抽象层级。他现在还需要用自己熟悉的具体经验，给那个符号搭个落脚的地方。等他走得稳了，自然会慢慢把那个具体的壳松开，看到符号背后更广阔的世界。
我们总怕学生”不够抽象”，怕把课上得太”低幼”，怕别人说我们教的数学没有”数学味”。可从来没问过自己，那个所谓的”数学味”，到底是要给学生搭梯子，还是要给学生设门槛。
错了。
抽象从来不是把学生从具体的世界里硬拽出来，扔到一个没有烟火气的符号高空。是我们陪着学生，从他熟悉的那些具体的小事里，慢慢找到那个能帮他把世界理得更清楚的规律，再用最简单的符号把这个规律记下来。
上次在那个乡镇初中的下课间隙，我看到那个喊”算起来太麻烦”的男生，在草稿本上给家里的鸡写了个式子：每只鸡每天下1个蛋，n只鸡m天能下nm个蛋。
你看。这就是最好的抽象。
他不是为了考试写的这个式子。是他真的觉得，这个符号能帮他把家里算鸡蛋的事儿，变得简单一点。